子テーマを作ることで解決できました。
たとえばtwentyfifteenを親テーマとし、子テーマ「twentyfifteen-child」を作る、というふうなかんじ。これだとカスタムした部分は別ディレクトリに保存されているので、親テーマにアップデートがかかっても子テーマに記載したカスタマイズは影響を受けません。
まず、カスタマイズ用をディレクトリ（twentyfifteen-child）を作成して、中に白紙のstyle.cssとfunctions.phpを作成して放り込みます。
そして、style.cssのトップに下記を記載
/*
Theme Name: テーマの名前（Twentyfifteen-childとか)
Theme URI: http://example.com/wp-content/themes/twentyfifteen-child/
Description: Twenty Fifteen Child
Author: なまえ
Author URI: http://example.com/
Template: twentyfifteen （親テーマの名前）
Version: 1.0.0
License: GNU General Public License v2 or later
License URI: http://www.gnu.org/licenses/gpl-2.0.html
Tags: light, dark, two-columns, right-sidebar, responsive-layout, accessibility-ready
Text Domain: twenty-fifteen-child
*/
functions.phpに下記を記載
あとは必要に応じてheader.php, footer.phpなんかを放り込んでいくと親テーマを上書きしてくれます。functions.phpだけは上書きされないようです。
そこまで用意ができたら管理画面の外観＞テーマから子テーマを有効にします。
わたしは-childという名前にするとサイト運営者がわかりにくいので、サイトのサービス名を子テーマの名前にしています。
参考：
http://wpdocs.sourceforge.jp/%E5%AD%90%E3%83%86%E3%83%BC%E3%83%9E